WEB検索する場合はブラウザのアドレスバーに文字列を入力して検索する場合は検索エンジンはブラウザの設定によります。
いかなるブラウザを使おうと、Yahoo!のトップページの検索ボックスに文字列を入力して検索する場合は当然Yahoo!の検索エンジン以外に飛ぶはずはありません。自社の運営するサイトで自社の検索エンジンを使わせたいのが検索エンジン運営サイトの目的ですから。
Windows10のスタートボタンの隣の検索バーはOSがMicrosoft製なので初期設定ではBINGであるのは当然の事です。
私はこの検索バーがデカ過ぎるのにおどろきましたが、さっさと最小化しました。
基本ブラウザにGoogleツールバーをインストールしてここで検索するか、Yahooのトップページの検索バーを使っています。

ごめんなさい。
検索窓とは検索ボックスのことです。

なお私はWindows10のブラウザ「Microsoft Edge」のトップページ検索ボックスでの検索エンジンは Googleに設定してあります。
BINGは慣れていませんので。

Windows10のスタートボタンの隣の検索バーは便利ですね。
Web検索だけでなく、ドキュメントに保存してある自分の日記からも検索できますから、「あの件はいつ頃だったのかな？」を調べたいときに役立ちます。

検索窓は英語でサーチボックスと言います。
日本語と英語を混ぜて検索ボックスとも言います。
サーチ箱とは言わないですね。検索窓なのにサーチウインドウとは言わない。ウインドウはWindowsと言うOSではワードやブラウザなどのソフトが開いたものをウインドウと言うから。
複数のウインドウつまり、複数のアプリが起動出来るのでウインドウの複数形でウインドウズ＝Windowsと言うのです。

検索窓、サーチボックスはWEB検索する時の入力エリアです。
ここに文字を入力してWEB検索する訳ですが、その検索する機能やプログラムが検索エンジンという訳です。
検索エンジンを提供、運営するところを検索サイトと呼んでいます。
Googleはまさに検索サイトです。
でもYahooはトップページが検索ボックスの他にYahooニュースやらテレビ番組、オークションなど様々な情報を提供しているので、これは検索サイトとは言わずにポータルサイトと呼びます。ポータルサイトとは玄関とか入口という意味があります。
つまりパソコンを立ち上げて、さあまず初めにYahooでニュースでもチェックして・・・・と初めの一歩がポータルサイトで始まる訳です。
そこからいろいろな疑問やら調べ物を検索してネットサーフィン(今では古めかしい言葉になりましたが)を楽しむという流れになる。

Googleのトップページは検索ボックスだけなので検索サイトですね。いろいろなサービスは行っていますが、ポータルサイトではない。